準同型加群、自己準同型環

代数学

準同型写像の加群構造

A を可換環、 M, N を A 加群とする。

M から N への準同型写像は、自然に A 加群としての構造を持つ：

  • (f + g)(x) = f(x) + g(x)
  • (af)(x) = af(x)　 (a \in A)

また、任意の元 a \in A に対して、 a_{M,N} :M \rightarrow N を a_{M,N}(x) = ax と定めることができ、通常 a_{M,N} = a と省略して記述する。

 

M = N の場合

さらに、N = M ならば、自然に（一般に非可換な）環の構造を持つ（これを M の自己準同型環と呼ぶ）：

 

自己準同型環の可換な部分群

任意の自己準同型 \varphi を一つ定めると、自己準同型環の部分環 A[\varphi] = \{a\varphi^n | a \in A, n \in \mathbb{N}\} は可換になる。

 

自己準同型環上の加群構造

E を M の自己準同型環（またはその部分環）とすると、 M は A 加群であると同時に E 加群としての構造を持つ：

  • fx = f(x) 　 (f \in E)

 

M = N = A の場合

A を A 加群として見た場合、自己準同型環は自然に A と同一視できる。

 

M = N = B \supset A が可換環の場合

可換環の拡大 A \subset B の場合、 A 加群として自己準同型環 E は B の部分環と見ることができる。この場合、自己準同型環として0写像であることと、 B の元として0であることは一致する。