4で割った余りが1の素数は、2つの平方数の和で表せる - 一般人だけど数学ができるようになりたい

定理

任意の素数 $p \equiv 1 \bmod 4$ に対して、ある整数 $a, b$ が存在して $p = a^2 + b^2$

ポイント

$p = \alpha\beta \Rightarrow p = N(\alpha) = a^2 + b^2$

証明

素数 $p \equiv 1 \bmod 4$ は $\mathbb{Z}[ i ]$ において素元でないから、既約元でもなく、 $p = \alpha \beta$ 、 $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}[i] \setminus \{\pm 1, \pm i\}$ と分解できる。

このとき、両辺のノルムを取ると $p^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$ 、 $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ と書ける。 $a^2 + b^2 \neq 1$ 、 $c^2 + d^2 \neq 1$ だから、 $p = a^2 + b^2$ （証明終）

参考

素数 $p \equiv 1 \bmod 4$ はガウス整数環において素元でないことの証明はこちら。
ガウス整数環はUFD（一意分解整域）の証明はこちら（TODO）