準同型写像の加群構造 を可換環、 を 加群とする。 から への準同型写像は、自然に 加群としての構造を持つ： また、任意の元 に対して、 を と定めることができ、通常 と省略して記述する。 の場合 さらに、 ならば、自然に（一般に非可換な）環の構造を持…

定理 、 がそれぞれ整拡大であるとき、 も整拡大である。 証明 に対して を満たす を取ると、 は 上整な元だから、 は 加群として有限生成となる。 よってこちら（TODO 別記事で証明）の定理から が 上整であることが言える。（証明終）

定義 を可換環の拡大とする。 が 上モニックな多項式の根になるとき、すなわちあるが存在して を満たすとき、 は 上整であるという。 の任意の元が 上整であるとき、 は 上整である、または は整拡大であるという。 上整な の元の集合を、 における の整閉包…

定理 任意の素数 に対して、ある整数 が存在して ポイント 証明 素数 は において素元でないから、既約元でもなく、、と分解できる。 このとき、両辺のノルムを取ると、と書ける。、だから、（証明終） 参考 素数 はガウス整数環において素元でないことの証…

証明の雰囲気 証明 が素元でないことを示すには、あるが存在して、、、を示せば良い。 のとき、だから※1、あるが存在してとなる。 だから、は素元でない。（証明終） 参考 ※1 TODO 別途証明の記事作成