定理 、 がそれぞれ整拡大であるとき、 も整拡大である。 証明 に対して を満たす を取ると、 は 上整な元だから、 は 加群として有限生成となる。 よってこちら（TODO 別記事で証明）の定理から が 上整であることが言える。（証明終）

定義 を可換環の拡大とする。 が 上モニックな多項式の根になるとき、すなわちあるが存在して を満たすとき、 は 上整であるという。 の任意の元が 上整であるとき、 は 上整である、または は整拡大であるという。 上整な の元の集合を、 における の整閉包…