整数環における原始的な指標の積が原始的となる条件 - 一般人だけど数学ができるようになりたい

命題

$m, n \geq 2$ を互いに素な整数、 $G$ を可換な乗法群（単元を1とする）、 $f : (\mathbb{Z}/(m))^{*} \rightarrow G$ 、 $g : (\mathbb{Z}/(n))^{*} \rightarrow G$ を原始的な乗法的群準同型とする。

$h : (\mathbb{Z}/(mn))^{*} \simeq (\mathbb{Z}/(m))^{*}×(\mathbb{Z}/(n))^{*} \rightarrow G$ を、 $h(x + (mn)) = f(x + (m))g(x + (n))$ と定めると、これは原始的な指標になる。

なお、原始的な指標の定義については、この記事を参照。

証明

与えられた環、イデアルがこの記事で取り上げた性質1～4のいずれか満たすことを示せばよい。

$(mn)$ を含むイデアルを $(l)$ とすると、 $l$ は $mn$ の真の約数である。

次の場合に分けて考える。

場合分け1: $l$ と $m$ または $n$ が互いに素な場合

$l$ が $m$ と互いに素であると仮定する（ $n$ の場合も同様）。

このとき、 $l$ が $n$ を割り切るから $(n) \subset (l)$ で、 $n$ と $m$ が互いに素だから、集合 $\{1 + kn | k \in \mathbb{N}\}$ は $(Z/(m))^*$ の1つの代表系を含み※1、よって $f(1 + kn + (m)) \ne 1$ を満たす $k \in \mathbb{Z}$ が存在する。

$kn \in (l) \cap (n) \setminus (m)$ だから、性質1を満たすことがわかる。

場合分け2: $l$ と $m,n$ が互いに素でない場合

$l$ は $m,n$ とそれぞれ共通約数を持つ。このとき、 $m,n$ のいずれかは $l$ を割り切らない（ $m,n$ が両方とも $l$ を割り切る場合、 $l = mn$ となり矛盾）。

$m$ が $l$ を割り切らないとする（ $n$ の場合も同様）。

ここで $m = m_1 m_2$ と分解する（ただし $m_1|l, (m_2, l) = 1$ ）。

このとき、 $m_1n \in (l) \cap (n) \setminus (m)$ 、かつ $(m_1n) + (m) \ne \mathbb{Z}$ だから、性質3を満たすことがわかる。

（証明終）

注意書き

※1 $n$ と $m$ が互いに素だから、 $\{kn | k \in \mathbb{N}\}$ は $Z/(m)$ の代表系を成す。よって $\{1 + kn | k \in \mathbb{N}\}$ も $Z/(m)$ の代表系を成し、その可逆元の集合が $(Z/(m))^*$ の代表系を成す。