原始的な指標の積が原始的となる条件

命題

Rを可換環、I,JをRの互いに素なイデアル、Gを可換な乗法群（単元を1とする）、f\: (R/I)^{*} \rightarrow G、g\: (R/I)^{*} \rightarrow Gを原始的な乗法的群準同型とする。

任意の真イデアルH \supsetneq IJが、次のいずれかを満たすと仮定する。

  1. x \in (H \cap J) \setminus Iが存在して、1+x \in (R/I)^*かつf(1+x + I) \ne 1
  2. x \in (H \cap I) \setminus Jが存在して、1+x \in (R/J)^*かつg(1+x + J) \ne 1
  3. x \in (H \cap J) \setminus Iが存在して、(x) + I \ne R
  4. x \in (H \cap I) \setminus Jが存在して、(x) + J \ne R

h : (R/IJ)^{*} \simeq (R/I)^{*}×(R/J)^{*} \rightarrow Gを、h(x + IJ) = f(x + I)g(x + J)と定めると、これは原始的な指標になる。

なお、原始的な指標の定義については、この記事を参照。

証明

任意の真イデアルH \supsetneq IJに対して、あるx \in Hが存在してf(1+x+I)g(1+x+J) \ne 1となることを示せば良い。

Hに関する性質1～4で場合分けする。

Hが性質1または2を満たす場合

性質1を満たす場合、x \in Jだから、g(1 + x + J) = 1。

よって f(1 + x + I)g(1+x+J) = f(1+x+I) \ne 1。

性質2を満たす場合も同様。

Hが性質3または4を満たす場合

性質3を満たす場合、(x) + I \supsetneq Iが真のイデアルだから、fの原始性の仮定より、あるt \in Rが存在してf(1 + tx + I) \ne 1となる。このときtx \notin Iで、txは性質1を満たす元なのでhの原始性が言える。

性質4を満たす場合も同様。